굳이 공식 없이 푼다면... 어차피 합성함수 도함수 증명 과정과 동일하게 되므로 증명과정을 먼저 보겠습니다.

dy/dx = lim [f(g(x)) - f(g(a))] / [x - a]

에서 분자, 분모에 [g(x) - g(a)]를 넣어 분수 두 개의 곱으로 분리하면

= [f(g(x)) - f(g(a))] / [g(x) - g(a)] × [g(x) - g(a)] / [x - a]

= dy/du × du/dx

로 증명하는데, 문제의 함수를 증명과정에 그대로 대입하면 공식없이 푼 것이 됩니다.

(f•g)'(a)

=

lim(x->a) [ (x^2+3x-5)^(2/3) - (a^2+3a-5)^(2/3)] ÷ [ x - a]

여기서 분자, 분모에 같은 식을 넣어 두 개의 분수의 곱으로 분리하면,

=

lim(x->a) [ (x^2+3x-5)^(2/3) - (a^2+3a-5)^(2/3)] ÷ [ (x^2+3x-5) - (a^2+3a-5)] × [ (x^2+3x-5) - (a^2+3a-5)]÷ [ x -a]

lim(x->a)를 분리해서 두 개의 극한의 곱으로 만들면

=

lim(x->a) [ (x^2+3x-5)^(2/3) - (a^2+3a-5)^(2/3)] ÷ [ (x^2+3x-5) - (a^2+3a-5)]

×

lim(x->a) [ (x^2+3x-5) - (a^2+3a-5)]÷ [ x -a]

x->a 이면 (x^2+3x-5)->(a^2+3a-5)이므로

= lim((x^2+3x-5)->(a^2+3a-5)​) [ (x^2+3x-5)^(2/3) - (a^2+3a-5)^(2/3)] ÷ [ (x^2+3x-5) - (a^2+3a-5)]

×

lim(x->a) [ (x^2+3x-5) - (a^2+3a-5)] ÷ [ x -a]

= 2/3 (a^2+3a-5)^(-1/3) × (2a+3)

로 (f•g)'(a) 를 구했습니다. 마지막 결과의 a 대신에 x를 쓰면 도함수 (f•g)'(x) 가 됩니다.

dy/dx = 2/3 (x^2+3x-5)^(-1/3) × (2x+3)

굳이 합성함수를 꼭 전개해서 미분을 하고 싶다면, 문제의 2/3제곱을 파스칼삼각형의 분수 버전을 써서 전개를 해야 하는데 계산량이 너무 많아서 저는 엄두가 나지 않으니 이와 관련된 영상을 첨부합니다. 영상의 설명이 자세하므로 직접 해 보시기 바랍니다. 영상과의 차이는 괄호 속의 항이 세 개라, 항 두 개를 하나로 묶어서 영상을 적용하고 묶음을 푸는데 또 이항정리를 적용하면 됩니다.

https://youtu.be/ZWwdAidVsZ8?feature=shared