한 변의 길이가 10cm인 정사각형 두 개가 있어요.

첫 번째 정사각형은 ABCD입니다.

두 번째 정사각형은 EHFG입니다.

두 정사각형이 겹쳐져 있는데, 두 대각선의 교점 O에 두 번째 정사각형의 한 꼭짓점 E가 놓여 있어요.

(1) △BOH=△COI임을 설명하고, 합동 조건을 말하시오.

1. 합동 설명 두 삼각형 △BOH와 △COI가 합동임을 증명하려면, 세 변의 길이 또는 두 변과 그 끼인각, 또는 한 변과 양 끝각이 같다는 것을 보여줘야 해요.

변의 길이: 정사각형의 성질을 이용하면, 대각선의 교점 O는 대각선을 이등분하므로 OB=OC 입니다.

각의 크기:

정사각형 ABCD의 대각선은 서로 수직이고, 각 꼭짓점의 각을 이등분해요. 따라서 ∠BOC=90∘ 이고 ∠OBC=∠OCB=45∘ 입니다.

두 번째 정사각형 EHFG의 꼭짓점 E가 O에 놓여 있으므로, ∠HOG는 정사각형 EHFG의 꼭짓점 각인 ∠HEG와 같고, 이는 90∘ 입니다.

∠BOH+∠HOC=∠BOC=90∘

∠HOC+∠COI=∠HOI=90∘ (왜냐하면 $\overline{OH}$와 $\overline{OI}$는 두 번째 정사각형 EHFG의 변이므로 ∠HOI는 90∘입니다. )

위 두 식을 비교하면 ∠BOH와 ∠COI가 공통으로 ∠HOC와 더해져 90∘를 만들기 때문에, ∠BOH=∠COI 입니다.

2. 합동 조건 이제 합동 조건을 정리해 볼게요.

∠OBC (또는 ∠OBH)와 ∠OCI의 크기는 모두 45° 로 같아요.

$\overline{OB}$와 $\overline{OC}$의 길이는 같아요. (정사각형 ABCD의 대각선의 교점 O는 대각선을 이등분하기 때문)

∠BOH와 ∠COI의 크기는 같아요. (위에서 증명했듯이)

따라서 △BOH와 △COI는 ASA (Angle-Side-Angle) 합동입니다.

(2) 사각형 OHCI의 넓이를 구하는 풀이와 과정과 답을 쓰시오.

1. 넓이 구하는 과정

(1)번 문제에서 △BOH=△COI (합동)임을 증명했어요.

두 삼각형이 합동이면 넓이도 같으므로, △BOH의 넓이와 △COI의 넓이는 같아요.

우리가 구하려는 사각형 OHCI의 넓이는 △OCI와 △OCH의 넓이를 더한 값이에요.

그런데 △OCI의 넓이와 △OCH의 넓이가 같으므로, 사각형 OHCI의 넓이는 △OBC의 넓이와 같아요.

사각형 OHCI의 넓이 = △OCI의 넓이 + △OCH의 넓이

△OCI의 넓이 = △OBH의 넓이 (합동이므로)

따라서 사각형 OHCI의 넓이 = △OBH의 넓이 + △OCH의 넓이 = △OBC의 넓이

2. 답 구하기

△OBC의 넓이를 구하면 돼요.

정사각형 ABCD의 넓이는 한 변의 길이 곱하기 한 변의 길이이므로 10×10=100cm2 입니다.

정사각형의 대각선은 정사각형을 4개의 합동인 직각삼각형( △OAB,△OBC,△OCD,△ODA )으로 나누어요.

따라서 △OBC의 넓이는 정사각형 ABCD 넓이의 1/4 이므로, 100÷4=25cm2 입니다.

3. 최종 답 사각형 OHCI의 넓이는 △OBC의 넓이와 같으므로, 25cm2 입니다.